2022年度空间向量及其运算—精品文档（2022年）
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空间向量及其运算 欢乐一笑：3.知道吗？我真的好想带你出去体验一下 KTV 的魅力啊！知道什么是KTV 吗？就是 K 你一顿，T 你一脚，最后我再做个 V 的手势耶！
一、自主归纳，自我查验 1、自主归纳 ○1 .空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. ○2 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理：
对空间任意两个向量 a ， b ( b ≠0)， a∥b 的充要条件是__________.
推论：如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是：
OP→ ＝ OA → ＋ ta ①
其中 a 叫直线 l 的方向向量， t ∈R，在 l 上取 AB→ ＝ a ，
则①可化为 OP→ ＝________或 OP → ＝(1－ t ) OA → ＋ tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：
p ＝____________，其中 x ， y ∈R， a ， b 为不共线向
量，推论的表达式为 MP→ ＝ xMA → ＋ yMB → 或对空间任意一点O ，有 OP→ ＝____________
或 OP→ ＝ xOM → ＋ yOA → ＋ zOB → ，其中x ＋ y ＋ z ＝______.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存
在有序实数组{ x ， y ， z }，使得 p ＝____________，把{ a ， b ， c }叫做空间的一
个基底. ○3 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ○1 两向量的夹角：已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 OA→ ＝ a ， OB → ＝ b ，则
∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若
〈 a ， b 〉＝ π2，则称 a 与 b __________，记作 a⊥b . ○2 两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a ， b ，则____________叫做向量 a ， b 的
数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：( λa )² b ＝____________；
②交换律：
a²b ＝__________；
③分配律：
a² ( b ＋ c )＝__________. ○4 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算：设 a ＝( a 1 ， a 2 ， a 3 )， b ＝( b 1 ， b 2 ， b 3 )，则 a²b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示：设 a ＝( a 1 ， a 2 ， a 3 )， b ＝( b 1 ， b 2 ， b 3 )， 则 a∥b ⇔______________⇔____________，____________，______________， a⊥b ⇔__________⇔________________________( a ， b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式：设 a ＝( a 1 ， a 2 ， a 3 )， b ＝( b 1 ， b 2 ， b 3 )，则| a |＝ a²a ＝__ ______， cos〈 a ， b 〉＝a²b|a||b| ＝___________________.设A ( a 1 ， b 1 ， c 1 )， B ( a 2 ， b 2 ， c 2 )， 则 d AB ＝| AB→ |＝__________. 填空答案：1.(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)平行或重合 (4)平行于同一个平面 2.(1)存在实数 λ ，使得 a ＝ λb
OA→ ＋ tAB →
(2) xa ＋ yb
OM→ ＋ xMA → ＋ yMB →
1 (3) xa ＋ yb ＋ zc
3.(1)①〈 a ， b 〉 0≤〈 a ， b 〉≤π 互相垂直 ②| a||b |cos〈 a ， b 〉 a²b
a²b ＝| a||b |cos〈 a ， b 〉 (2)① λ ( a²b ) ② b²a
③ a²b ＋ a²c
4.(1) a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3
(2) a ＝ λb
a 1 ＝ λb 1
a 2 ＝ λb 2
a 3 ＝ λb 3
( λ ∈R) a²b ＝0 a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 ＝0 (3) a21 ＋ a22 ＋ a23
a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3a21 ＋ a22 ＋ a23 ² b21 ＋ b22 ＋ b23
a 2 － a 12b 2 － b 12c 2 － c 12
2、自我查验 ○1 .已知 a ＝(－3,2,5)， b ＝(1,5，－1)，则 a ＋ b ＝____________.（答案：(－2,7,4)）
○ 2 给出下列各式，判断正误：
① b a b a ；
（
）
② c b a c b a ；
（
）
③ b m a m c b a m ；
（
）
④ b m a m ⇒ b a ；
（
）
⑤若 3 b a ，则ba3
（
）
（答案：错，错，错，错，错）
3.在四面体 O — ABC 中， OA→ ＝ a ， OB → ＝ b ， OC → ＝ c ， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 OE→ ＝_____ _________(用 a ， b ， c 表示)（答案：. 12 a ＋14 b ＋14 c）
4.若向量 a ＝(1,1， x )， b ＝(1,2,1)， c ＝(1,1,1)，满足条件 ( c － a )²(2 b )＝－2，则 x ＝________.（答案：2）
5.在下列条件中，使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是__________.(填序号) ① OM→ ＝2 OA → － OB → － OC → ；
② OM → ＝ 15 OA→ ＋ 13 OB→ ＋ 12 OC→ ；
③ MA→ ＋ MB → ＋ MC → ＝0；
④ OM → ＋ OA → ＋ OB → ＋ OC → ＝0. （答案：○3 ）
二、典型例题 题型一 空间向量的线性运算 ○1 例题:如图所示，在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，设 AA 1→ ＝ a ， AB → ＝ b ， AD → ＝ c ，
M ， N ， P 分别是 AA 1 ， BC ， C 1 D 1 的中点，试用 a ， b ， c 表示以下各向量：
(1) AP→ ；
(2) A1 N→ ；
(3) MP → ＋ NC1→ .
○2 破题思路：用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的
关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义. ○3 解题过程：解 (1)∵ P 是 C 1 D 1 的中点， ∴ AP→ ＝ AA1→ ＋ A1 D 1→＋ D 1 P→ ＝ a ＋ AD → ＋ 12 D1 C 1→＝ a ＋ c ＋ 12 AB→ ＝ a ＋ c ＋ 12 b . (2)∵ N 是 BC 的中点，
∴ A 1 N→ ＝ A1 A→ ＋ AB → ＋ BN → ＝－ a ＋ b ＋ 12 BC→ ＝－ a ＋ b ＋ 12 AD→ ＝－ a ＋ b ＋ 12 c . (3)∵ M 是 AA 1 的中点， ∴ MP→ ＝ MA → ＋ AP → ＝ 12 A1 A→ ＋ AP → ＝－ 12 a ＋ a ＋ c ＋ 12 b＝ 12 a ＋12 b ＋ c ， 又 NC 1→ ＝ NC → ＋ CC1→ ＝ 12 BC→ ＋ AA1→ ＝ 12 AD→ ＋ AA1→ ＝ 12 c ＋ a ， ∴ MP→ ＋ NC1→ ＝12 a ＋12 b ＋ c＋ a ＋ 12 c＝ 32 a ＋12 b ＋32 c . ○4 方法与规律：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终
点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立. 变式训练：
在例 1 的条件下，若 AE→ ＝ 12 EC→ ， A1 F→ ＝2 FD → ，试用a ， b ， c 表示 EF→ . 答案：解 如图，连接 AF ，则 EF→ ＝ EA → ＋ AF → . 由已知 ABCD 是平行四边形， 故 AC→ ＝ AB → ＋ AD → ＝ b ＋ c ， A 1 D→ ＝ A1 A→ ＋ AD → ＝－ a ＋ c . 由已知， A 1 F→ ＝2 FD → ，∴ AF → ＝ AD → ＋ DF →
＝ AD→ － FD → ＝ AD → － 13 A1 D→ ＝ c － 13 ( c － a )＝13 ( a ＋2 c )， 又 EA→ ＝－ 13 AC→ ＝－ 13 ( b ＋ c )， ∴ EF→ ＝ EA → ＋ AF → ＝－ 13 ( b ＋ c )＋13 ( a ＋2 c )＝13 ( a － b ＋ c ). 题型二 共线、共面向量定理的应用 ○1 例题：已知 E 、 F 、 G 、 H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点， (1)求证：
E 、 F 、 G 、 H 四点共面；
(2)求证：
BD ∥平面 EFGH ；
(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O ，有 OM→ ＝ 14 ( OA→ ＋ OB → ＋ OC → ＋ OD → ). ○2 破题思路：在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、
平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量
靠近，进行求解 ○3 解题过程：
证明 (1)连接 BG ，则 EG→ ＝ EB → ＋ BG → ＝ EB → ＋ 12 ( BC→ ＋ BD → )＝ EB → ＋ BF → ＋ EH → ＝ EF → ＋ EH → ， 由共面向量定理的推论知：
E 、 F 、 G 、 H 四点共面. (2)因为 EH→ ＝ AH → － AE → ＝ 12 AD→ － 12 AB→ ＝ 12 ( AD→ － AB → )＝ 12 BD→ ， 所以 EH ∥ BD . 又 EH ⊂平面 EFGH ， BD ⊄平面 EFGH ， 所以 BD ∥平面 EFGH . (3)找一点 O ，并连接 OM ， OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OG . 由(2)知 EH→ ＝ 12 BD→ ，同理 FG → ＝ 12 BD→ ， 所以 EH→ ＝ FG → ，即EH 綊 FG ， 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG ， FH 交于一点 M 且被 M 平分. 故 OM→ ＝ 12 ( OE→ ＋ OG → )＝ 12 OE→ ＋ 12 OG→ ＝ 12 12OA→ ＋ OB →＋ 12 12OC→ ＋ OD → ＝ 14 ( OA→ ＋ OB → ＋ OC → ＋ OD → ). ○4 方法与规律：若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性 a ＝ λb 关系，即可判定两直线平行. 变式训练：
已知 A 、 B 、 C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O ，若点 M 满足
OM→ ＝ 13 ( OA→ ＋ OB → ＋ OC → ). (1)判断 MA→ 、 MB → 、 MC → 三个向量是否共面；
(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. 解 (1)由已知 OA→ ＋ OB → ＋ OC → ＝3 OM → ， ∴ OA→ － OM → ＝( OM → － OB → )＋( OM → － OC → )，即 MA → ＝ BM → ＋ CM → ＝－ MB → － MC → ， ∴ MA→ ， MB → ， MC → 共面. (2)由(1)知， MA→ ， MB → ， MC → 共面且基线过同一点M ，∴四点 M ， A ， B ， C 共面，从而点 M在平面 ABC 内. 题型三 空间向量性质的应用
○1 例题：已知空间中三点 A (－2,0,2)， B (－1，1,2)， C (－3,0,4)，设 a ＝ AB→ ， b ＝ AC → ， (1)若| c |＝3，且 c ∥ BC→ ，求向量c ；
(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值；
(3)若 ka ＋ b 与 ka －2 b 互相垂直，求实数 k 的值；
(4)若 λ ( a ＋ b )＋ μ ( a － b )与 z 轴垂直，求 λ ， μ 应满足的关系. ○2 破题思路：证明两条直线垂直，一般是用两条直线的方向向量的数量积等于 0 来加以证明的.
○ 3 解题过程：
解 (1)∵ c ∥ BC→ ， BC → ＝(－3,0,4)－(－1，1,2)＝(－2，－1,2)，∴ c ＝ mBC→ ＝ m (－2，－1,2)＝(－2 m ，－ m, 2 m )， 所以| c |＝ －2 m2 ＋－ m2 ＋m2 ＝3| m |＝3， ∴ m ＝±1.∴ c ＝(－2，－1,2)或(2,1，－2). (2)∵ a ＝(1,1,0)， b ＝(－1,0,2)， ∴ a²b ＝(1,1,0)²(－1,0,2)＝－1， 又| a |＝ 12 ＋1 2 ＋0 2 ＝2，| b |＝ －2 ＋0 2 ＋2 2 ＝5， ∴cos〈 a ， b 〉＝a²b|a||b | ＝－110 ＝－1010， 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为－1010. (3)∵ ka ＋ b ＝( k －1， k, 2)， ka －2 b ＝( k ＋2， k ，－4)，且 ka ＋ b 与 ka －2 b 互相垂直，∴( k －1， k, 2)²( k ＋2， k ，－4)＝( k －1)( k ＋2)＋ k2 －8＝0， ∴ k ＝2 或 k ＝－ 52 ，∴当ka ＋ b 与 ka －2 b 互相垂直时，实数 k 的值为 2 或－ 52 . (4)∵ a ＋ b ＝(0,1,2)， a － b ＝(2,1，－2)， ∴ λ ( a ＋ b )＋ μ ( a － b )＝(2 μ ， λ ＋ μ ，2 λ －2 μ )， ∵ λ ( a ＋ b )＋ μ ( a － b )与 z 轴垂直， ∴(2 μ ， λ ＋ μ ，2 λ －2 μ )²(0,0,1)＝2 λ －2 μ ＝0，即当 λ ， μ 满足关系 λ －μ ＝0 时，可使 λ ( a ＋ b )＋ μ ( a － b )与 z 轴垂直. ○4 方法与规律：与平面向量计算类似
变式训练：
已知 a ＝( x, 4,1)， b ＝(－2， y ，－1)， c ＝(3，－2， z )， a ∥ b ， b ⊥ c ，求：
(1) a ， b ， c ；
(2)( a ＋ c )与( b ＋ c )夹角的余弦值.
解 (1)因为 a∥b ，所以x－2 ＝4y ＝1－1 ，解得x ＝2， y ＝－4， 这时 a ＝(2,4,1)， b ＝(－2，－4，－1). 又因为 b⊥c ，所以 b²c ＝0，即－6＋8－ z ＝0，解得 z ＝2，于是 c ＝(3，－2,2). (2)由(1)得 a ＋ c ＝(5,2,3)， b ＋ c ＝(1，－6,1)，设( a ＋ c )与( b ＋ c )夹角为 θ ， 因此 cos θ ＝5－12＋338² 38 ＝－219 .
错例分析：
“两向量平行”和“两向量同向”不清致误 ○1 例题：已知向量 a ＝(1,2,3)， b ＝( x ， x2 ＋ y －2， y )，并且a 、 b 同向，则 x ， y 的值分
别
○2 错解：
－2，－6 或 1,3 ○3 错解归因：
(1) a 与 b 同向，则 a∥b ，利用向量平行的性质列方程求 x ， y .(2) a与 b 平行，并不能保证同向，所以还要注意验证. ○4 正解：1,3 解析 由题意知 a ∥ b ，所以 x1 ＝x2 ＋ y －22＝ y3 ， 即 y ＝3 x ，x2 ＋ y －2＝2 x ，
①② 把①代入②得 x2 ＋ x －2＝0，( x ＋2)( x －1)＝0， 解得 x ＝－2，或 x ＝1. 当 x ＝－2 时， y ＝－6；
当 x ＝1 时， y ＝3. 当 x ＝－2y ＝－6时， b ＝(－2，－4，－6)＝－2 a ，两向量 a ， b 反向，不符合题意，所以舍去. 当 x ＝1y ＝3时， b ＝(1,2,3)＝ a ， a 与 b 同向，所以 x ＝1，y ＝3. 批阅笔记 (1) a 与 b 同向是 a∥b 的充分而不必要条件. a∥b 是 a 与 b 同向的必要而不充分条件. (2)错因分析：两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这一点.
○5 变式训练：已知向量 a ＝(1,2,3)， b ＝( x ， x2 ＋ y －2， y )，并且a 、 b 反 向，则 x ， y
的值分别___-2，-6_. 高分跨越 ○1 题目：直三棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′中， AC ＝ BC ＝ AA ′，∠ ACB ＝90°， D 、 E 分别为 AB 、 BB ′的中点. (1)求证：
CE ⊥ A ′ D ；
(2)求异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值. ○2 尝试解答：.(1)证明 设 CA→ ＝ a ， CB → ＝ b ， CC ′ →＝ c ， 根据题意，| a |＝| b |＝| c |，且 a²b ＝ b²c ＝ c²a ＝0， ∴ CE→ ＝ b ＋ 12 c ， A ′ D→＝－ c ＋ 12 b －12 a . ∴ CE→ ² A ′ D →＝－ 12 c2 ＋ 12 b2 ＝0. ∴ CE→ ⊥ A ′ D →，即 CE ⊥ A ′ D . (2)解 ∵ AC ′→＝－ a ＋ c ，| AC ′→|＝ 2| a |， | CE→ |＝52| a |. AC ′→² CE→ ＝(－ a ＋ c )²b ＋ 12 c＝ 12 c2 ＝ 12 | a |2 ， ∴cos〈 AC ′→， CE→ 〉＝12 | a |22²52| a |2＝1010. 即异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值为1010. ○3 方法与规律：利用向量解决线线垂直，异面直线的夹角 2、如图所示，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ，底面△ ABC 中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA ＝90°，棱 AA 1 ＝2，M 、 N 分别是 A 1 B 1 、 A 1 A 的中点． (1)求 BN 的长；
(2)求异面直线 BA 1 与 CB 1 所成角的余弦值；
(3)求证：
A 1 B ⊥ C 1 M . [自主解答] (1)| BN |2 ＝BN ² BN
＝( BA ＋ AN )²( BA ＋ AN )
＝| BA |2 ＋|AN |2 ＋2BA ² AN ＝2＋1＝3， ∴| BN |＝ 3. (2)∵1BA ²1CB ＝( BA ＋1AA )²( CB ＋1BB ) ＝ BA ² CB ＋ BA ²1BB ＋1AA ² CB ＋1AA ²1BB
＝ 2²1²cos 135°＋0＋0＋4＝3， 又∵|1BA |2 ＝(BA ＋1AA )2
＝| BA |2 ＋2BA ²1AA ＋|1AA |2
＝2＋0＋4＝6，∴|1BA |＝ 6. 又∵|1CB |2 ＝( CB＋1BB )2
＝| CB |2 ＋2 CB²1BB ＋|1BB |2
＝1＋0＋4＝5，∴|1CB |＝ 5. ∴cos〈1BA ，1CB 〉＝1BA ²1CB| 1BA ||1CB |＝36² 5 ＝3010， ∴异面直线 BA 1 与 CB 1 所成角的余弦值为3010. (3)证明：1AB ²1C M ＝(1AA ＋ AB )²(1 1C A ＋1AM ) ＝1AA ²1 1C A ＋1AA ²1AM ＋ AB ²1 1C A ＋ AB ²1AM
＝0＋0＋1² 2²cos 135°＋ 2²22²cos 0°＝0. ∴1AB ⊥1C M ，∴ A 1 B ⊥ C 1 M .
应用体验 1.在下列命题中：
①若向量 a ， b 共线，则向量 a ， b 所在的直线平行；
②若向量 a ， b 所在的直线为异面直线，则向量 a ， b 一定不共面；
③若三个向量 a ， b ， c 两两共面，则向量 a ， b ， c 共面；
④已知空间的三个向量 a ， b ， c ，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x ， y ， z使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc . 其中正确命题的个数是
( A )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知 a ＝( λ ＋1,0,2)， b ＝(6,2 μ －1,2 λ )，若 a ∥ b ，则 λ 与 μ 的值可以是
( A ) A.2， 12
B.－13 ，12
C.－3,2
D.2,2 3.正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM→ ＝ 12 MC1→ ， N为 B 1 B 的中点，则| MN→|为
( A ) A.216a
B.66a
C.156a
D.153a
4.已知 a ＋3 b 与 7 a －5 b 垂直，且 a －4 b 与 7 a －2 b 垂直，则〈 a ， b 〉＝__60______. 5.已知△ ABC 的顶点 A (1,1,1)， B (2,2,2)， C (3,2,4)，试求 (1)△ ABC 的重心坐标；
(2)△ ABC 的面积；
(3)△ ABC 的 AB 边上的高. 解 (1)设重心坐标为( x 0 ， y 0 ， z 0 )，则 x 0 ＝ 1＋2＋33＝2， y 0 ＝ 1＋2＋23＝ 53 ， z 0 ＝ 1＋2＋43＝ 73 ，∴重心坐标为 2， 53 ，73. (2) AB→ ＝(1,1,1)， AC → ＝(2,1,3)，| AB → |＝ 3，| AC → |＝ 14， AB→ ² AC → ＝2＋1＋3＝6， ∴cos A ＝cos〈 AB→ ， AC → 〉＝63² 14 ＝642 ， ∴sin A ＝ 1－ 3642 ＝17 . ∴ S △ ABC ＝ 12 | AB→ |²| AC → |²sin A
＝ 12 ³3³ 14³17 ＝62. (3)设 AB 边上的高为 CD ， 则 S △ ABC ＝ 12 | AB→ |²| CD → |，∴| CD → |＝6212 ³ 3＝ 2. 故△ ABC 的 AB 边上的高是 2.
复习与巩固
A 组
一、选择题 1.如图所示，在平行六面体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点.若 AB→ ＝ a ，AD→ ＝ b ，AA 1→ ＝ c ，则下列向量中与 BM → 相等的向量是
( A ) A.－ 12 a ＋12 b ＋ c
B. 12 a ＋12 b ＋ c
C.－ 12 a －12 b ＋ c
D. 12 a －12 b ＋ c 2.已知 a ＝(－2,1,3)， b ＝(－1,2,1)，若 a ⊥( a － λb )，则实数 λ 的值为
( D ) A.－2
B.－ 143
C. 145
D.2 3．已知向量 a ＝(1,1,0)， b ＝(－1,0,2)，且 ka ＋ b 与 2 a － b 互相垂直，则 k 的值为
(
) A．1
B. 15
C.35
D.75
解析：选 D ka ＋ b ＝( k －1， k, 2)，2 a － b ＝(3,2，－2)， 由题意知，3( k －1)＋2 k －4＝0，解得 k ＝ 75 .
4．(教材习题改编)已知 a ＝(－3,2,5)， b ＝(1， λ ，－1)．若 a ⊥ b ，则 λ ＝________. 解析：∵ a ⊥ b ，∴(－3)³1＋2 λ ＋5³(－1)＝0，∴ λ ＝4. 5．(教材习题改编)在空间四边形 ABCD 中， G 为 CD 的中点，则 AB ＋ 12 (BD ＋ BC )=____. 解析：依题意有 AB ＋ 12 (BD ＋ BC )＝ AB ＋ 12 ³2BG ＝ AB ＋ BG ＝ AG . 答案：
AG
6.已知 a ＝(1－ t, 1－ t ， t )， b ＝(2， t ， t )，则| b － a |的最小值为__. 3 55______. 7.若向量 a ＝(1， λ ，2)， b ＝(2，－1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89 ，则λ ＝___－2
或255 _____. 8.已知非零向量 e 1 ， e 2 不共线，如果 AB→ ＝ e1 ＋ e 2 ， AC→ ＝2 e1 ＋8 e 2 ， AD→ ＝3 e1 －3 e 2 ，求证：
A 、B 、 C 、 D 共面. 证明 令 λ ( e 1 ＋ e 2 )＋ μ (2 e 1 ＋8 e 2 )＋ v (3 e 1 －3 e 2 )＝0. 则( λ ＋2 μ ＋3 v ) e 1 ＋( λ ＋8 μ －3 v ) e 2 ＝0. ∵ e 1 ， e 2 不共线，∴ λ ＋2 μ ＋3 v ＝0λ ＋8 μ －3 v ＝0. 易知 λ ＝－5μ ＝1v ＝1是其中一组解，则－5 AB→ ＋ AC → ＋ AD → ＝0.∴ A 、 B 、 C 、 D共面. B 组 1.正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM→ ＝ 12 MC1→ ， N为 B 1 B 的中点，则| MN→|为
( A ) A.216a
B.66a
C.156a
D.153a
2．已知 a ＝(2，－1,3)， b ＝(－1,4，－2)， c ＝(7,5， λ )，若 a 、 b 、 c 三个向量共面，
则实数 λ 等于(
) A. 627
B. 637
C. 647
D. 657 解析：选 D 由于 a ， b ， c 三个向量共面，所以存在实数 m ， n 使得 c ＝ ma ＋ nb ，即有 7＝2 m － n ，5＝－ m ＋4 n ，λ ＝3 m －2 n ，解得 m ＝ 337， n ＝ 177， λ ＝ 657. 3．如图，在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 是 AC 与 BD 的交点，若 AB＝ a ，1 1AD ＝ b ，1AA ＝ c ，则下列向量中与1BM 相等的向量是(
) A．－ 12 a ＋12 b ＋ c
B. 12 a ＋12 b ＋ c
C. 12 a －12 b ＋ c
D．－ 12 a －12 b ＋ c
解析：选 A 1BM ＝1BB ＋ BM ＝1BB ＋ 12BD ＝1BB ＋ 12 (BA ＋ BC )＝1AA ＋ 12 (－AB ＋1 1AD )＝ c － 12 a ＋12 b ，即1BM ＝－ 12 a ＋12 b ＋ c .
4.(2013²武汉模拟)二面角 α － l － β 为 60°， A 、 B 是棱 l 上的两点， AC 、 BD 分别在半平面 α 、 β 内， AC ⊥ l ， BD ⊥ l ，且 AB ＝ AC ＝ a ， BD ＝2 a ，则 CD 的长为(
) A．2 a
B. 5 a
C． A
D. 3 a
解析：选 A ∵ AC ⊥ l ， BD ⊥ l ， ∴〈 AC ， BD 〉＝60°，且 AC ² BA ＝0， AB ² BD ＝0， ∴ CD ＝ CA ＋ AB ＋ BD ，∴| CD |＝ CA ＋ AB ＋ BD2
＝ a2 ＋ a 2 ＋a2 ＋2 a ²2 a cos 120°＝2 a . 5.如图所示， PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面， AB ＝2， E 为 PB 的中点，cos〈 DP→ ， AE → 〉＝33， 若以 DA ， DC ， DP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建 立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为
(A
) A.(1,1,1)
B. 1，1， 12 C. 1，1， 32
D.(1,1,2) 6.已知 a ＝(2，－1,2)， b ＝(2,2,1)，则以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积为___ 65_____. 7.已知 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体，①( A 1 A→ ＋ A1 D 1→＋ A 1 B 1→)2 ＝3 A1 B 1→ 2 ；
② A1 C→ ²( A1 B 1→－ A 1 A→ )＝0；
③向量 AD 1→ 与向量 A1 B→ 的夹角是 60°；
④正方体ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的体积为| AB→ ² AA1→ ² AD → |.其中正确命题的序号是___①②_____. 8、.如图，已知 M 、 N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上且 GM ∶ GA ＝1∶3.求证：
B 、 G 、 N 三点共线. .证明 设 AB→ ＝ a ， AC → ＝ b ， AD → ＝ c ， 则 BG→ ＝ BA → ＋ AG → ＝ BA → ＋ 34 AM→
＝－ a ＋ 14 ( a ＋ b ＋ c )＝－34 a ＋14 b ＋14 c ， BN→ ＝ BA → ＋ AN → ＝ BA → ＋ 13 ( AC→ ＋ AD → ) ＝－ a ＋ 13 b ＋13 c ＝43 BG→ . ∴ BN→ ∥ BG → ，即B 、 G 、 N 三点共线.
C 组 1
在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，M、N 分别是棱 AA 1 和 BB 1 的中点，则 CM 与 D 1 N 夹角的正弦值为
（
）
答案：
B 解析：以 DA、DC、DD 1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为 2，则 M（2，0，1）、N（2，2，1）、C（0，2，0）、D 1 （0，0，2），∴ =（2，-2，2）， ∴CM 与 D 1 N 所成角的正弦值为 ，∴选 B 2
在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中点，M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点，则直线 OM
A．是 AC 和 MN 的公垂线 B．垂直于 AC，但不垂直于 MN C．垂直于 MN，但不垂直于 AC D．与 AC、MN 都不垂直 答案：
B
解析：以 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0）、D 1 （ 0,0,2a ）
、 M （ 0,0,a ）
A(2a,0,0) 、 C （ 0,2a,0 ）
、 O(a,a,0) 、 N(0,a,2a), ∴∴OM⊥AC,OM 与 MN不垂直. ∴选 B. 3、.设 OABC 为四面体， G 1 是△ ABC 的重心， G 是 OG 1 上一点，且 OG ＝3 GG 1 .若 OG→ ＝ xOA → ＋ yOB → ＋zOC→ ，则( x ， y ， z )为_____14 ，14 ，14_________. 4．已知 O (0,0,0)， A (1,2,3)， B (2,1,2)， P (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ² QB取最小值时，点 Q 的坐标是________． 解析：由题意，设 OQ ＝ λ OP ，即 OQ ＝( λ ， λ ，2 λ )， 则 QA ＝(1－ λ ，2－ λ ，3－2 λ )， QB ＝(2－ λ ，1－ λ ，2－2 λ )， ∴ QA ² QB ＝(1－ λ )(2－ λ )＋(2－ λ )(1－ λ )＋(3－2 λ )(2－2 λ ) ＝6 λ2 －16 λ ＋10＝6λ － 432 － 23 ，当λ ＝ 43 时有最小值，此时Q 点坐标为 43 ，43 ，83. 答案：
43 ，43 ，83 5．已知 a ＝(cos θ ，1，sin θ )， b ＝(sin θ ，1，cos θ )，则向量 a ＋ b 与 a － b 的夹角32. 592.55 4.91. D C B ACM,91| | | || |, cos ), 1 , 2 , 2 (111 1 N D CMN D CMN D CM N D95 41, , DD DC DA, 0 , 0 ), 0 , 2 , 2 ( ), , , 0 ( ), , , (2 a OM MN AC OM a a AC a a MN a a a OM
是________． 解析：∵( a ＋ b )²( a － b )＝ a2 － b 2 ＝| a | 2 －| b | 2
＝(cos2 θ ＋1＋sin 2 θ )－(sin 2 θ ＋1＋cos 2 θ )＝0， ∴( a ＋ b )⊥( a － b )，即向量 a ＋ b 与 a － b 的夹角为 90°. [来源:Zxxk.Com]
答案：90° 6．已知向量 a ＝(1，－3,2)， b ＝(－2,1,1)，点 A (－3，－1,4)， B (－2，－2,2)． (1)求|2 a ＋ b |；
(2)在直线 AB 上，是否存在一定点 E ，使得 OE ⊥ b ？( O 为原点)． 解：(1)2 a ＋ b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2 a ＋ b |＝ 02 ＋－2 ＋5 2 ＝52. (2) OE ＝ OA ＋ AE ＝ OA ＋ t AB
＝(－3，－1,4)＋ t (1，－1，－2) ＝(－3＋ t ，－1－ t, 4－2 t )， 若 OE ⊥ b ，则 OE ² b ＝0， 所以－2(－3＋ t )＋(－1－ t )＋(4－2 t )＝0，解得 t ＝ 95 ， 因此存在点 E ，使得 OE ⊥ b ， 此时 E 点坐标为 － 65 ，－145， 25. 7、.如图所示，在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，设1AA ＝ a ， AB ＝ b ， AD ＝ c ， M 、 N 、P 分别是 AA 1 、 BC 、 C 1 D 1 的中点，试用 a ， b ， c 表示以下各向量：
(1) AP ；
(2)1AN ；
(3) MP ＋1NC . 解：(1)∵ P 是 C 1 D 1 的中点， ∴ AP ＝1AA ＋1 1AD ＋1DP
＝ a ＋ AD ＋ 121 1DC
＝ a ＋ c ＋ 12 b . (2)∵ N 是 BC 的中点， ∴1AN ＝1AA ＋ AB ＋ BN
＝－ a ＋ b ＋ 12BC
＝－ a ＋ b ＋ 12AD ＝－ a ＋ b ＋ 12 c . (3)∵ M 是 AA 1 的中点， ∴ MP ＝ MA ＋ AP ＝ 121AA ＋ AP
＝－ 12 a ＋( a ＋ c ＋12 b )＝12 a ＋12 b ＋ c . 又1NC ＝ NC ＋1CC ＝ 12BC ＋1AA
＝ 12AD ＋1AA ＝ 12 c ＋ a ，∴MP ＋1NC
＝( 12 a ＋12 b ＋ c )＋( a ＋12 c ) ＝ 32 a ＋12 b ＋32 c . 8、如图所示，在长方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知 AB ＝4， AD ＝3， AA 1 ＝2. E 、 F 分别是线段 AB 、BC 上的点，且 EB ＝ BF ＝1.求直线 EC 1 与 FD 1 所成的角的余弦值.
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